Teorema funzionale del limite centrale e Browian Motion

Come abbiamo visto nel precedente articolo la random walk è definita mediante tempi discreti. Tuttavia esistono anche modelli matematici che si basano su tempi continui e questo implica ovviamente che anche il processo che ne risulta generato mostrerà lo stesso andamento. Tra i modelli appartenenti a questa tipologia il più importante è senza dubbio la browian motion (o Wiener process). Esso è l’analogo delle distribuzioni normali per le distribuzioni nel senso che così per le distribuzioni esiste un risultato generale (il teorema del limite centrale), anche per i processi aleatori esiste un teorema di convergenza molto simile al primo: il teorema centrale del limite funzionale o teorema di Donskel. Infatti il Teorema del Limite Centrale ci dice che, sotto alcune condizioni, se consideriamo la media di una successione di variabili indipendenti ed identicamente distribuite questa convergerà ad una normale mentre l’equivalente teorema relativo ai processi aleatori ci dice che partendo da una random walk qualsiasi sotto opportune condizioni non importa quale sia la variabile aleatoria che utilizziamo ma all’infittirsi della rete dei punti che considero avremo una brownian motion